Stempelzahlensummen
Ungerade Zahlen mit gemeinsamen Primteilern
Fall BI und BII:
Die gerade Zahl 2*n ist das doppelte eines ungeraden (Fall BI) oder geraden (Fall BII) Vielfachen FP von Primfaktoren von mi.
n = FP*x
GGT(mi,n) = FPm (Fall BI) oder GGT(mi,n) = 2*FPm (Fall BII)
Den Faktor 2 enthält 2*n nur einmal (Fall BI) oder mehrfach (Fall BII).
Im Fall BI gilt:
n ist ungerade und damit h-n oder np gerade.
Da n und h durch FP teilbar sind, muss auch np durch FP teilbar sein.
n = h-np
n = h - 2^o *FP*y
np = 2^o *FP*y
2*n = 2* (h - np) = (h - 2^o *FP*y) + (h - 2^o *FP*y)
Hier wird jetzt FPr, das Produkt, der in FP noch fehlenden Faktoren von mi, wichtig.
(h - 2^o *FP*y) muss so verändert werden, dass eine Stempelzahl entsteht.
2*n = (h - 2*(2^(o-1)*FP*y + D) + (h - 2*(2^(o-1)*FP*y - D)
D kann Zweierpotenzen und einen oder mehrere der fehlenden Primfaktoren enthalten. Dadurch kann (2^(o-1)*FP*y + D) teilerfremd zu h werden.
Falls jetzt gilt:
GGT((2^(o-1)*FP*y - D), h)=1 und GGT((2^(o-1)*FP*y + D), h)=1 und h > 2*(2^(o-1)*FP*y - D) und h > 2*(2^(o-1)*FP*y + D)
dann ist eine Aufteilung von 2*n in zwei Stempelzahlen gefunden.
Zu beweisen ist hier, dass immer ein D gefunden werden kann, das diese Bedingungen erfüllt.
Auch hier führen Zweierpotenzvielfache von fehlenden Primfaktoren oder eines fehlenden Primfaktors von mi zu Lösungen.
Dazu wieder ein Zahlenbeispiel:
2*n=2*45 =90 2*np= 2*2*2*15
2*n = 105 -2*(30-D) +105 -2*(30+D)
mögliche Werte für D: Vielfache von 7 kleiner 28
Ergebnisse:
7: 59 + 31 (2^(o-1)*FP*y - D)=23 oder 37
14: 73 + 17 (2^(o-1)*FP*y - D)=16 oder 44
21: teilbar durch 3
28: 2*(30+28)>105
Alternativweg für den Fall BI
Die beiden Stempelzahlen, in die 2*n zerlegt wird, lassen sich auch anders konstruieren:
2*n = 2* (h - np) = (h - 2*(np +D)) + (h - 2*D)
mit D = 2^x *d und GGT(mi,d)=1 (d ist Stempelzahl oder Element von S)
und (np +D)<h/2 und D<h/2
Auch hier muss GGT(h,(np +D))=1 sein, aber D darf keinen Primfaktor von h enthalten.
Angewendet auf das Zahlenbeispiel von oben:
2*n=2*45 =90 2*np= 2*2*2*15
2*n = 105 -2*(60-D) +105 -2*D
mögliche Werte für D: 13,17,19, ...
Ergebnisse:
13 (47, 26): 11 + 79
17 (43, 34): 19 + 71
19 (41, 38): 23 + 67
...
