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Stempelzahlen* 1 Die mathematische Darstellung der Stempelzahlen * 2 Eigenschaften der Stempelzahlen * 3 Anzahl und Dichte der Stempelzahlen * 4 Beispiele * 5 Stempelzahlprodukte * 6 Stempelzahlvermutungen * 7 Weitere Ideen * 8 Anmerkungen * 9 Siehe auch * 10 Weblinks * 11 Periodische Stempelzahlfolgen Der Begriff Stempelzahlen entstand als Arbeitsbegriff für primzahlenähnliche Zahlengruppen, die nach teilweise durchgeführten Siebverfahren (Ulam, Eratosthenes) neben einer hohen Dichte an Primzahlen noch aus großen Faktoren zusammengesetzte Zahlen enthalten. Der Begriff des Stempels findet sich im hier verwendetem Sinn bereits bei dem polnischen Mathematiker Stanisław Marcin Ulam. Das nette an den Stempelzahlen ist, dass man mit ihnen viele mathematische Themen anschaulich durchspielen kann (Resteklassen, ...). Einfachste Definition:
Definition als Stempelmenge
Definition als Zahlensystem
![]() Ferner gilt, k0 = 1, dass die k-Koeffizienten nur die Größe 0 bis (größter m-Faktor -1) haben dürfen und dass jede Summe aller Summanden links zu jeder aller Summanden rechts eines Pluszeichens teilerfremd ist! Die Addition eines Vielfachen einer höheren m-Ebene bewirkt das Stempeln und die Bedingung teilerfremd bewirkt das Streichen von Vielfachen des Teilers dieser m-Ebene! Im Ergebnis enthält ein Stempel einfach alle zur Stempelgröße m teilerfremden Zahlen kleiner m. Er fasst das Teilbarkeitsverhalten in Bezug auf die Stempelgröße zusammen. (vgl. Sieb des Eratosthenes und Sieb des Ulam) Stempel können beliebig um das k-fache ihrer Stempelgröße verschoben werden. Sie werden dabei immer nach oben verschoben. Am neuen Platz finden sich uU weniger Stempelzahlen durch Streichungen, nie mehr. Außer an den Plätzen ihres Stempels gibt es auch an der neuen Stelle keine Stempelzahlen. Auch am neuen Platz fasst der Stempel das Teilbarkeitsverhalten bezogen auf seine Stempelgröße zusammen. Der kleinste Stempel ist der m-Bereich 2 und enthält nur die 1. Der nächste enthält mit m=6 die Zahlen 1 und 5. Er besteht aus 3 2er Stempeln. Die 3 wird als Vielfaches des aktuellen m-Faktors 3 sofort gestrichen. Der dritte Stempel aus 5 Stempeln des 6er Bereichs ist der 30er Bereich mit den Elementen 1,7,11,13,17,19,23,29. Die Zahlen 5 und 25 werden gestrichen. 7 Stempel des 30er Bereichs ergeben den 210er Stempel. Hier werden bereits 8 Vielfache von 7 gestrichen. (91 und 119 symmetrisch im selben mittleren 30er Stempel.) Jede größere Zahl liegt in einem 30er, 210er, ... Stempelbereich und hat durch diese Position charakteristische Resteklassen. Die mathematische Darstellung der Stempelzahlen![]() Eigenschaften der StempelzahlenSymmetrie:
Anzahl und Summe:
Die Summe aller Stempelzahlen eines Bereichs ist ein Vielfaches von m. (Aufgrund der Symmetrie das m-fache der Hälfte der Anzahl für diesen Bereich) Abstände und Zweierpotenzen
Es gilt folgender Abstandssatz:
Umgekehrt gilt auch dass jede Zweierpotenz von der nächst größeren Bereichsmitte genau eine Stempelzahl entfernt ist oder die Subtraktion einer Zweierpotenz (>2) von einer Primfakultät immer das Doppelte einer Stempelzahl ergibt.
Auf diese Weise lassen sich auch eigene Gruppen von Stempelzahlen definieren.
Auch alle Zahlen der Form s =2^n*s1*s2*s3*... +/-1 (2*11 +1 =23)
Nebenbei ist die um 1 verminderte (erhöhte) Bereichsmitte immer ein Zweierpotenzvielfaches einer Stempelzahl (oder wie bei 16 eine Zweierpotenz) und nicht nur bloß das Doppelte einer Stempelzahl.
Beziehungsstrukturen der Stempelzahlen und Resteverhalten
Mod m werden Stempelzahlprodukte eines Bereichs wieder auf Stempelzahlen dieses Bereichs abgebildet. Alle Stempelzahlen eines Bereichs lassen sich paarweise zu Produkten gruppieren, die alle mod m denselben Rest oder dieselbe Stempelzahl ergeben. Stempelzahlen lassen sich unterteilen in quadratische Reste, Spiegelzahlen quadratischer Reste und nicht quadratische Reste mod m. Für m=30 sind 1 und 19 (15+4) quadratische Reste. Für m=210 sind 1, 121 (105+16) und 151 (256-105), sowie 79 (15+64), 109 (105+4) und 169 (105+64) quadratische Reste (19 nicht mehr!). Jeder neue Faktor f unterteilt den jeweiligen Stempelzahlenbereich in f-1 Resteklassen (f-1: 2,4,6,10,12,16,18,22,28,...) Alle Stempelzahlen des nächstkleineren Bereichs werden jeder Klasse je einmal zugeteilt. Dadurch finden sich in jeder Klasse genauso viele Zahlen wie der nächstkleinere Bereich an Stempelzahlen enthält! Produkte derselben Klasse ergeben quadratische Reste mod m. In kleineren Stempel findet sich unter 2*f aufeinander folgenden Zahlen mindestens eine Stempelzahl (f ist der größte Primfaktor des Stempels.)
In jedem Stempel ist die erste zusammengesetzt Zahl fn+1^2, die nächste fn+1 * fn+2
Jede Stempelzahl mit Ausnahme der 2 lässt sich einer der beiden Klassen „Primzahl der Form 4k + 1“ oder „Primzahl der Form 4k + 3“ zuordnen, wobei k eine natürliche Zahl ist. Darüber hinaus hat jede Stempelzahl p > 3 die Form p = 6k + 1 oder p = 6k − 1, wobei k eine natürliche Zahl ist. (In jeder der 4 Klassen gibt es unendlich viele Primzahlen und damit auch Stempelzahlen.) Primzahlen unterliegen dem Rhythmus der Stempelzahlen, das heißt Stempelzahllücken sind immer auch Primzahlenlücken, aber Primzahlen sind in einem Stempel ungleich verteilt. Die unteren Stempel (einschließlich 210) enthalten ausschließlich oder einen größeren Anteil Primzahlen als die oberen. (Die Dichte der Primzahlen nimmt deutlich schneller ab, als die der Stempelzahlen. Anzahl und Dichte der StempelzahlenDie Anzahl der Stempelzahlen ist das Produkt der um 1 verminderten Faktoren von m. ![]() Wert für 71: D = 0,128 oder jede 7,8 te Zahl ist eine Stempelzahl (von 100 Zahlen ca. 13 Zahlen)! Bis ca. 106 sind mehr als die Hälfte der Stempelzahlen eines Bereichs Primzahlen. BeispieleDas folgende Bild stellt die Stempelzahlen des 210er Bereichs dar. Sie sind nach den Stempelzahlen des 30er Bereichs gruppiert. Quadratische Reste sind rot, Produkte mit gelbem Hintergrund markiert. Die zu 210 nicht teilerfremden Vielfachen von 7 sind mit verkleinerter Schriftgröße dargestellt und bilden neue Lücken in diesem Stempel. (Die Vielfachen von 2,3 und 5 sind aufgrund der kleinen ersten Stempel komplett entfallen. 7 und die folgenden Primzahlen bleiben in höheren Stempeln in Kombinationen enthalten (37, 41, 67, 71, ...) ![]() StempelzahlprodukteWerden zwei oder mehr Primzahlen miteinander multipliziert, entsteht ein Stempelzahlprodukt der Form: N = p*q = (x*m + a) * (y*m + b) = m* (x*y*m + a*y + b*x) + a*b N = p*q = ((2x+1)*m/2 + (a-m/2)) * ((2y+1)*m/2 + (b-m/2)) m ist dabei die Stempelgröße eines kleineren Bereichs. Sei nun P eine Primzahl im Abstand z*m zu N, dann muss B=(x*y*m + a*y + b*x) teilerfremd zu s = z*m + a*b sein. Da es viele Primzahlen in Abstände zi*m zu N gibt, existieren viele Stempelzahlen si. Da diese viele Primfaktoren enthalten können und B zu diesen teilerfremd sein muss, ist B meist prim.
StempelzahlvermutungenAus der Struktur der Stempelzahlen kann man Vermutungen zur Struktur der Primzahlen ableiten: 1. Es gibt zu jeder Primzahl p weitere im Abstand einer natürlichen 2er-Potenz. p + 2^n = pi Oder dazu äquivalent: Es gibt keine Primzahl p, die nicht durch mindestens eine natürliche Potenz von 2 von einer anderen Primzahl her erreicht werden kann. ![]() (Diese Vermutung wurde von Cyrix im Matheplanet bewiesen.
2. Zu jeder Primzahl existiert eine weitere, so dass gilt: p1+p2 = mi Anders ausgedrückt: Zu jeder Primzahl existiert ein Stempel, in dem seine Spiegelstempelzahl ebenfalls prim ist.
3. Jede Primzahl p kann immer in folgender Form dargestellt werden:
4. Jede Primzahl p kann in folgender Form dargestellt werden:
Weitere IdeenEs ist noch zu untersuchen, inwieweit die Stempelzahlen ebenfalls in der Ulam-Spirale charakteristische Linien bilden.
"Schon Euler gab die Formeln n2 + n + 17 und n2 − n + 41 an, die für 0 < n < 16 bzw. 0 < n < 41 Primzahlen liefern. Auch für größere Werte von n liefern die beiden Formeln viele Primzahlen, weil das Ergebnis nie durch Primzahlen p < 17 bzw. p < 41 ganzzahlig teilbar ist. Allgemein gibt es viele solche Formeln an^2 + bn + c, wodurch sich die auffällige Ulam-Spirale erklärt." (Aus: http://de.wikipedia.org/wiki/Primzahl#Formeln_zur_Generierung_von_Primzahlen)
Fastprimzahlen
Interessant sind die Abstände zwischen Stempelzahlen.
k*30 + 2*l*5 mit l<4 und der bekannte Abstand:
Zur Größe der Abstände:
Würde man eine Stempelzahl, die mehr als durch den Betrag des größten Faktors von ihrer Nachbarstempelzahl entfernt ist als isoliert bezeichnen,
In diesem Zusammenhang steht eine weitere interessante Frage, ob es überhaupt einmal passieren kann, dass nebeneinander liegende Stempelzahlen gleichzeitig beim Übergang zum nächsten Stempel gestrichen werden können. (Starke Vergrößerung von Abständen) Zu untersuchen ist noch die Summe aller Stempelzahlen bis zur Bereichsmitte:
AnmerkungenInteressant ist der Zusammenhang, dass die n-te Wurzel aus der Bereichsgröße des n-ten Stempels mit steigendem n gegen e konvergiert. (siehe Primorial) Die größten Stempelzahllücken müssten sich immer an den Rändern oder neben Bereichsmitten großer Stempel finden. In der Nähe vieler Primzahllücken finden sich oft Vielfache großer m-Produkte oder deren Hälften (Bereichsmitten). Die Verteilung und Entwicklung von Stempelzahllücken und deren Beziehung zu Primzahlenlücken muss noch untersucht werden. Das Maximum, über wie viele kleinere Primzahlen eine bestimmte Primzahl durch die Addition von 2er Potenzen erreicht werden kann, ist der ganzzahlige Anteil des Zweierlogarithmus dieser Primzahl. Gibt es Primzahlen, die auf so vielen Wegen erreicht werden können oder ist es immer maximal eins weniger? (19 erreicht mit 17, 11, 3 zum Beispiel 3 von 4) R sei der Rest eines Stempelzahlprodukts N mod m. Nun gibt es viele Kombinationen von Stempelzahlen des kleineren m-Bereichs a*b, a1*b1, a2*b2, ..., die mod m gleich R sind. Sei Ri = N-ab und Rz = N - (a-m/2)*(b-m/2) mit N = p*q = (x*m + a) * (y*m + b) = m* (x*y*m + a*y + b*x) + a*b Gibt es einen Weg Unterschiede zwischen N-a*b (richtige Kombination) und N-a1*b1 (falsche Kombination) zu finden? Gäbe es einen, könnte man baumartig die Teiler von N ermitteln, ohne dass die Möglichkeiten in diesem Baum zu sehr zunehmen. (siehe Primzahl#Primfaktorzerlegung) Siehe auch* Primfakultät oder Primorial: Primorial * Primzahlenzwillinge: Primzahlzwilling * Kategorie Primzahlen: Primzahl Weblinks* http://primzahlen.de/ * http://www.devalco.de/ * http://beablue.selfip.net/devalco/sieb_des_Ulam.htm * http://www.primzahlen.de/files/referent/dk/index.htm * http://www.devalco.de/sieb_des_Ulam.htm * http://www.luschny.de/math/factorial/Primfakultaet.html * http://www.wissenschaft-online.de/abo/ticker/617058 * http://www.primini.homepage.t-online.de/primgraf.html * http://www.g-gloeggler.de/ * http://www.studentenpilot.de/studieninhalte/onlinelexikon/st/Stempelzahlen/ * http://www.matheplanet.com/ (Suche Stempelzahlen) * http://de.wikipedia.org/wiki/Fastprimzahl * http://primzahlen.de/files/referent/dk/index.htm Neueste Forschungen zu Primzahlen:
Neue Links:
(:commentbox:) "Zum Wortbegriff Stempelzahlen. Ich bin selbst noch nicht ganz zufrieden damit, weil eben nicht nur gestempelt wird. Das Streichen ist ja vergleichbar mit dem Sieb des Eratosthenes und im Linkbeitrag redet der Autor von einem konstanten Sieb, den 30er Stempelzahlen. Nimm die Zahlen 331 und 541 oder 347 und 557 - alles Primzahlen.
Ohne den Begriff der Stempelzahlen würde man diese Zusammengehörigkeit nicht so sehen. Sinnvoll wird der Begriff allerdings erst dann, wenn man damit irgendetwas einfacher und eleganter beweisen kann." Thema Erreichbarkeit von Primzahlen von Stempelzahlen/anderen Primzahlen nur durch Zweierpotenzen:
(Klärung: Äquivalenz der Vermutungen, ....) ( Letzte Änderung am 27.11.2012 ) |