Stempelzahlensummen
Ungerade teilerfreie Zahlen
Fall AI und AII:
Die gerade Zahl 2*n ist das doppelte einer Stempelzahl (Fall AI) oder n enthält keine weiteren Primfaktoren von mi außer der 2 (Fall AII).
GGT(h,n) = 1
GGT(mi,n) = 1 (Fall AI) oder GGT(mi,n) = 2 (Fall AII)
Den Faktor 2 enthält 2*n nur einmal (Fall AI) oder mehrfach (Fall AII).
Im Fall AI gilt:
n ist selbst wieder eine Stempelzahl (GGT(mi,n) = 1) und ungerade.
n = h-np
n = h - 2^o *x
np = 2^o *x
Da h und n ungerade ist, ist np gerade und da h alle Primfakoren von mi außer der 2 enthält, enthält x wie n keinen Primfaktor von h oder mi.
2*n = n + n ist damit eine Summe von Stempelzahlen, die die gerade Zahl 2*n ergibt.
Falls 2*n < fi * fi gilt:
2*n ist die Summe zweier Primzahlen.
Dieser erste Fall ist trivial und erfasst nur die Doppelten der Stempelzahlen. Er zeigt aber die Vorgehensweise für die folgenden Schritte.
Wie bei allen anderen Wegen ein Paar an Stempelzahlen zu erzeugen, deren Summe 2*n ergibt, läßt sich auch hier eine weitere Konstruktionsvorschrift angeben.
Alternativweg für den Fall AI
Die beiden Stempelzahlen, in die 2*n zerlegt wird, müssen nicht gleich sein:
2*n = n+D + n-D
mit D = 2^x *d und GGT(mi,d)>1 (d ist keine Stempelzahl und besteht nur aus Faktoren von mi. D ist gerade.)
und GGT(mi,n+D)=1 und GGT(mi,n-D)=1
Lassen sich Werte für D finden, für die insbesonders die letzten beiden Bedingungen gelten, so führen diese Werte zu weiteren Lösungen.
D muss daher immer durch 3 teilbar sein, da n nicht durch 3 teilbar ist.
Der Sonderfall D= n +- fi führt zu einem Primfaktor von mi. Hier ist dann GGT(mi,n+D)=fi oder GGT(mi,n-D)=fi.
(D muss auch hier durch 3 teilbar sein, außer fi=3)
Dazu ein Zahlenbeispiel:
2*n=2*23 =46 2*np= 2*82 = 4*41
2*n = 23 + D + 23-D
mögliche Werte für D sind die geraden Zahlen kleiner n, die durch 3 teilbar sind 6,12,18 und die 20, die genau die 3 ergibt.
Ergebnisse:
2: --
4: --
6: 17, 29
12: --
18: 5, 41
20: 3, 43
22: --
(Alle nicht durch 3 teilbaren Zahlen entfallen, da 23 mod 3 = -1 ist. Nur 20 ergibt genau den Primfaktor 3))
(Besser AIII: Sonderfall 2*n ist das Doppelte eines Primfaktors von mi)
