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Stempelzahlensummen

Hilfsüberlegungen und Beweiswege

Beim Versuch dies zu beweisen, benötigt man die Symmetrie der Stempelzahlen um die Bereichsmitte h=mi/2
Neben der Menge der Stempelzahlen S eines Stempels ist noch die Menge F der Primfaktoren von mi wichtig und SF sei die Vereinigungsmenge beider Zahlenmengen.
FP sei ein beliebiges Produkt von Primfaktoren von mi mit
FP = f1*f2* ...fn mit FP < mi (Ein Primfaktor von mi kann in FP mehrfach vorkommen.)
Es gelte
FPm * FPr = mi
mit FPm = GGT(mi, FP) (Hier kommen die Primfaktoren von mi höchstens einmal vor.)
FPr enthält dann die in FPm und FP fehlenden Faktoren.
Alle im folgenden verwendeten Platzhalter (n, np, o, k, l, x, y, ...) repräsentieren natürliche Zahlen.
Für die Stempelzahlen wird neben der grundlegenden Definition der Abstand zur Bereichsmitte verwendet.
si=h +- 2^x *s2
(Jede Stempelzahl genügt der Bedingung GGT(si,mi)=1 und jede Zahl kleiner mi, die von mi/2 den Abstand 2^x *s2 hat, ist eine Stempelzahl, wobei für s2 wieder gilt: GGT(s2,mi)=1 )

Der folgende Beweisversuch erarbeitet Teilbeweise für bestimmte Gruppen von geraden Zahlen kleiner mi.
Dabei werden einmal gerade Zahlen, die Primfaktoren von mi enthalten von geraden Zahlen ohne solche Faktoren unterschieden.
Dann werden gerade Zahlen 2*n unterschieden, die genaue einmal oder mehrfach den Faktor 2 enthalten (n ist gerade oder ungerade).
Mit diesen beiden Unterscheidungen ergeben sich 4 Teilgruppen, die getrennt betrachtet werden.

Es gilt aufgrund der Symmetrie der Stempelzahlen und weil m gerade ist und nur einmal den Faktor 2 enthält:
Zu jeder geraden Zahl 2*n kleiner mi existiert genau eine ebenfalls gerade "Spiegelzahl" 2*np mit
2*np = mi -2*n
mi = 2* (np + n) = 2* mi/2 = 2*h
h = np + n
Da h immer ungerade ist, ist immer entweder n oder np gerade, nicht beide.
h = 2^o *x + u
u ist ungerade und es gilt
u < h
x ist ungerade und
2^o *x < h mit o>0