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Stempelzahlensummen

Zu den Elementen einer Folge gehören immer Stempelzahl und Spiegelzahl, denn beide haben denselben Nachfolger.

mi = s + s'
mi = h +- 2^k*sp + h +- 2^n*sp'
0 = +- 2^k*sp +- 2^n*sp'
k=n da sp und sp' keine Zweierfaktoren enthalten.
0 = +- sp +- sp'
Vom Betrag her sind damit sp und sp' gleich, kleiner h/2 und ergeben dasselbe Kreiselement.

Daraus folgt nun, dass die Anzahl der Elemente einer Folge immer gerade sein muss. Außerdem ist die Summe aller Elemente einer Folge immer durch mi teilbar. Das Vorgängerelement im Kreis und eines der Einstiegselemente ergänzen sich zu mi. Die Anzahl der Einstiegselemente zu einem Kreiselement ist immer ungerade.

Nachfolger ist durch die Stempelfolge bestimmt.

Für ein Kreiselement gilt s_k<h/2
s_k = h - 2^n*s_k' mit s_k'<h/2
Auf ein Kreiselement folgt also immer wieder ein Kreiselement.

Für ein Einstiegselement gilt s_e > h/2
Falls s_e< h gilt
s_e = h - 2^n*s_k mit s_k<h/2
Falls se>h gilt
se = h + 2^n*s_k mit s_k<h/2

Auf ein Einstiegselement folgt also immer ein Kreiselement.
Es kann nicht sein, dass zwei Einstiegselemente aufeinander folgen oder ein Kreiselement ein Einstiegselement als Nachfolger hat.

Kann es ein Kreiselement geben, dass kein Einstiegselement als Vorgänger hat? Nein, denn man kann zu jedem s_k ein Element
s_e = h + 2*s_k mit s_e > h/2
ausrechnen, dass ein Element der Menge S ist.
Das bedeutet, die Einstiegselemente der Dreiviertelmenge verteilen sich auf alle Kreiselemente.

Kann es sein, dass ein Kreiselement keinen Nachfolger hat? Nein, denn man kann immer berechnen
s_k'' = (h -s_k)/2^n

Die Folge zerlegt die Menge der Elemente von S in unabhängige Teilmengen. Jeder Teilmenge besteht aus einem Ring von Folgeglieder kleiner h/2 (Kreiselemente) und mindestens einem Einstiegselement zu jedem Kreiselement

BILD

mi = s + s'=2*s1+2^k*s2 mit k>1

s= s'+2^k*s2 mit k>1
s-s' = 2^k*s2 mit k>1

s= 2*s1+(2^k-1)*s'. mit k>1
s-s' = 2*(s1+2^(k-1)*s') mit k>1

Neue Ideen zu den Ringen
Wenn man die Ebenen wechselt, wo landen dann die Elemente eines Ringes, zusammen auf einem oder auf getrennten?
Wenn man zwei Zahlen eines Ringes multipliziert, so entsteht ein quadratisches Element der zweiten Primzahl!
Berechnungsbeispiele
Darstellung der Ringe mit verschiedenen Farben auf der Ulamspirale
Oder im Zahlenraum
Der Beginn der Stempelzahlen
1-2-6-30. 1 hat keine Mitte 2 hat keine Elemente 6 hat eine Mitte und ein Element
2 und 3 liegen als Faktoren ausserhalb des Bereichs, sonst immer innerhalb

Zusammengesetzte Stempelzahlen können auf zwei Weisen ausgedrückt werden h-2^ n ... Und als Produkt dieser Darstellung ihrer Faktoren!

Darstellung aller Reste von h mod 2 4 8

Wo sind die direkten Zweierpotenzen und wieviele gibt es jedesmal mehr
Hängt die Grösse der Ringe damit zusammen?

Verbindungen von Ringen erster Ordnung

Stempelzahlenringe
Die Darstellung der Stempelzahlen als Kombination aus der Bereichsmitte und einem geraden Vielfachen einer anderen Stempelzahl, führt zu Ringen, denn diese neue Stempelzahl kann wieder in dieselbe Kombination zerlegt werden, mit einer weiteren Stempelzahl.
Wählt man dabei immer kleinere Stempelzahlbereiche, so endet die Kette relativ schnell bei einer reinen Zweierpotenz.
Lässt man die Bereichsmitte gleich, so ergeben sich Ringe.

Beispiele:
1 = 105 - 8*13
13 = 105 - 4*23
23 = 105 - 2*41
41 = 105 - 64*1

11 = 105 - 2*47
47 = 105 - 2*29
29 = 105 - 4*19
19 = 105 - 2*43
43 = 105 - 2*31
31 = 105 - 2*37
37 = 105 - 4*17
17 = 105 - 8*11

Damit sind bereits alle Elemente bis M/4 erfasst.

Der Ring mit 11 hat noch zwei weitere Einstiege: 2*11 und 4*11
83 = 105 - 2*11
61 = 105 - 4*11

Die Zweierpotenzen über 47 sind eine extra Reihe und bilden weitere Einstiege für die Reihe mit 1
103 = 105 - 2*1
101 = 105 - 4*1
97 = 105 - 8*1
89 = 105 - 16*1
73 = 105 - 32*1

Gegeben sei zu einer beliebigen Primzahl m die Primfakultät M, das Produkt aller Primzahlen kleiner gleich m. M ist die Obergrenze einer Menge S von natürlichen Zahlen, die alle teilerfremd zu M sind und enthält die 1.

h = M/2
s1 ist ein beliebiges Elemente von S, das kleiner als M/4 ist.

Zu beweisen ist, dass für jedes Element s von S gilt:
Es existiert genau ein Element s1 in S, so dass
s = h +/- 2^n*s1
mit 2^n*s1<h und n>0

Beweis:
Es gilt: s, h und 2 sind alle paarweise teilerfremd.
Ebenso s1, h und 2, da s und s1 teilerfremd zu M sind und h nicht mehr durch 2 teilbar ist.
Ob s und s1 teilerfremd ist, folgt erst aus dem zu beweisenden Satz.
Wären s und s1 nicht teilerfremd, müsste auch h diesen Teiler enthalten und M hätte mit s einen Teiler gemeinsam.
Doch langsam und ohne Konjunktiv.
Der Satz besagt, dass s einen Abstand zu h hat, der grösser als Null ist, mindestens durch zwei teilbar ist und sofern er nicht eine reine Zweierpotenz ist, als weiteren Faktor eine ebenfalls zu M teilerfremde Zahl enthält.
Dies kann man einzeln beweisen:
h ist ungleich s, da sonst nicht teilerfremd zu M und damit ist der Abstand grösser als 0.
Da h wie s ungerade ist, muss der Abstand zwischen ihnen mindestens durch zwei teilbar sein.
Die Zahl s1 gibt alle Zweierfaktoren an 2^n ab und ist selbst ungerade.
Falls s1 ungleich 1 ist, muss es zu h teilerfremd sein, ist damit zu M teilerfremd und damit ein Element der Menge S.

Nun ist noch umgekehr zu zeigen, dass alle Zweierpotenzen und alle Elemente von S kleiner M/4 auf S abgebildet werden und für verschiedene Werte von s1 oder n sich verschiedene Elemente ergeben!

Sei 2^n < h eine Zweierpotenz, die nicht auf S abgebildet wird,
dann müsste s = h +/- 2^n ein s ergeben, dass nicht teilerfremd zu h, oder durch zwei teilbar ist. Es ergibt sich jedoch, da h und 2^n teilerfremd sind eine zu beiden teilerfremde Zahl und damit ein Element von S.

Sei s1 < M/4. ein Element von S und 2^n*s1<h dann gilt für das sich ergebende s
s = h +/- 2^n*s1
s<M und s ist teilerfremd zu M
Damit ist s ein Element von S!

Seien nun s1 und s2 zwei verschiedene Elemente von S
s1 +d =s2 mit s2<M/4 und d>0
s' = h +/- 2^n*s2 = h +/- 2^n*s1 +/- 2^n*d
Da d>0 kann s nie gleich s' sein. Verschiedene Elemente s1, s2 werden daher auf verschiedenen Elementen von S abgebildet.

Damit lässt sich nun auch zeigen, dass zu jeder Stempelzahl weitere im Abstand 2^n zu finden sind.

Jede Stempel- oder Primzahl kann rekursiv auf eine Kombination von Bereichsmitten und Zweierpotenzen zurückgeführt werden.

Satz: Jeder Stempelzahl >2 kann durch eine Summe von drei anderen Stempelzahlen erzeugt werden. Dasselbe für Primzahlen!

Satz: Jeder Stempelzahl >2 kann durch ein Produkt von höchstens drei anderen Stempelzahlen +/- 1 erzeugt werden. NEIN!!!! 31 127
Eigene Gruppe: s1*s2 +/- 2= s3. 2*s1*s2*... +/- 1= s3. 23

Grenzzahlen umfassen alle Zahlen eines Bereichs, die kleiner als die Obergrenze sind und mit ihr den GGT =1 haben.
Bei Stempelzahlen ist die Obergrenze ein Primorial, das Produkt aufeinanderfolgender Primzahlen.

Die Hälfte der Obergrenze oder die Mitte des Stempelzahlbereichs sei hi.
Es gilt:
hi - s = 2^n* si. Mit si < s < hi. si ungleich s und alle drei Zahlen teilerfremd
Oder
s = hi +/- 2^n* si. (+ aufgrund der Symmetrie der Stempelzahlen)

In vielen Fällen kann man erreichen, dass s genau eine Zweierpotenz von einem Vielfachen einer kleineren Bereichsmittenhälfte entfernt ist.
Das Produkt zweier solcher Primzahlen muss nach Abzug der gemeinsamen Zweierpotenz durch eine Bereichsmittenhälfte teilbar sein.

41=45-4
43=45-2
41*45 -8. oder +4*13. oder 2*11. ist durch 15 teilbar

Zieht man von Stempelzahlmitten Primzahlen oder Stempelzahlen ab, so finden sich häufig vielfach teilbare Zahlen bzw. Eigentlich Zweierpotenzvielfache größerer Primzahlen. Wie oft findet man nur Doppelte von Primzahlen?
Findet man alle Zweierpotenzen?
105-11=2*47
105-13=4*23
105-17=8*11
105-19=2*43
105-23=2*41
105-29=4*19
105-31=2*37
105-37=4*17
105-41=2*32
105-43=2*31
105-47=2*29
105-53=4*13
105-59=2*23
105-61=4*11
105-67=2*19
105-71=2*17
105-73=2*16
105-79=2*13
105-83=2*11
105-89=2*8
105-97=2*4
105-101=4
105-103=2

Man findet alle Primzahlen und Stempelzahlen bis zur Hälfte der Bereichsmitte!?
Und alle Zweierpotenzen bis zur Bereichsmitte!

Zweierpotenzen haben zu den grösseren Bereichsmitten immer einen Stempelzahlenabstand.
Anders ausgedrückt: Zieht man von einer Bereichsmitte eine Zweierpotenz oder das Produkt einer Zweierpotenz und einer Stempelzahl ab, so erhält man eine Stempelzahl.

Stempelzahlen haben zu den grösseren Bereichsmitten immer nur als Abstand eine Zweierpotenz oder das Vielfache einer anderen Stempelzahl und einer Zweierpotenz.

Die Stempelzahlen eines Bereichs im Abstand einer Zweierpotenz zur Mitte bilden eine eigene Klasse
41 73 89 97 101 103
169 137 121 113 109 107

Die Stempelzahlen, die kleiner als ein Viertel des Bereichs sind, bilden eine Basisklasse. Aus Ihnen und den Zweierpotenzen lassen sich alle Abstände zu allen Stempelzahlen des Bereichs errechnen.
Diese Beziehung ist sogar exakt:
h +/- 2^n *s = S
ergibt alle Stempelzahlen und nur diese Stempelzahlen des Bereichs, falls s alle Stempelzahlen kleiner h/2 durchläuft und 2^n *s kleiner h bleibt.
h-1 ist das Zweierpotenzvielfache einer BasisStempelzahl. Dadurch wird die Stempelzahl 1 erreicht.
14, 104=13*8, 314=2*157

Die Summe der Prim- oder Stempelzahlen(?), deren Differenz zu einer Zweierpotenz führt:

6*105 - (2+4+8 ...64) =5*126 -126 = 504 = 4*126
6*15 -(2+4+8) = 76 =4*19

Zweierpotenzen und Primzahlen

Alle zweierpotenzen sind in der Form k*30 +2/4/8/16 darstellbar

Alle Primzahlen in der Form k*30+ 1/7/11/13/17/19/23/29

Alle Abstände der Primzahlen

6 1-7 7-13 13-19 23-29 11-17 17-23

2 11-13. 17-19

4 7-11 13-17 19-23

8: 11-19

10: 1-11 13-23 19-29

12: 1-13 7-19 11-23 17-29

                14: 

16: 1-17 7-23 13-29

18: 1-19 11-29

20:

22: 1-23 7-29

                   24: 26: 

28: 1-29

1 und 29 haben nur einen zweirpotenzpartner

11 und 19 dagegen drei