Die Übertragung der Goldbachschen Vermutung auf die Stempelzahlen
Kann man zeigen, dass jede gerade Zahl g <= mi durch die Summe oder Differenz von zwei Stempelzahlen dargestellt werden kann.
Etwas vergleichbares besagt ja die Goldbachsche Vermutung für Primzahlen.
Da man ja bedeutend mehr ungerade Zahlen (nicht nur Primzahlen) zur Verfügung hat
und diese eine klare Struktur aufweisen, scheint dieser Beweis einfacher zu sein,
erweist sich jedoch ebenfalls als relativ schwierig und macht einem klar,
warum auch die Goldbachsche Vermutung nicht leicht zu beweisen ist.
Ein Problem sind die Grenzen eines Stempels und die Stempelzahlenlücke am Anfang und Ende.
Dadurch läßt sich die Goldbachsche Vermutung nicht direkt übertragen.
In jedem Stempel mi sind jedoch alle Stempelzahlen bis zum Quadrat des größten Faktors fi immer prim.
Vereinigt man die Primfaktoren der Stempelgrößezu mit den Stempelzahlen, so hat man die vollständige Reihe der Primzahlen bis zur Schranke fi^2.
Die starke Goldbachsche Vermutung lautet:
Sei 2*n eine beliebige gerade Zahl (n>1), dann existiert mindestens eine Primzahl p, so dass 2*n-p auch prim ist.
2*n - p = q
Damit bezieht sich die Goldbachsche Vermutung nur auf die Summe und nicht auf den Abstand oder die Differenz von zwei Primzahlen.
Übertragen als Stempelzahlvermutungen lautet der hier zu klärende Satz:
Sei 2*n eine beliebige gerade Zahl kleiner gleich mi (damit: n<=h=mi/2),
dann existiert mindestens eine zu mi teilerfremde Zahl s1 mit s1<mi (und GGT(s1,mi)=1),
so dass 2*n - s1 = s2 wieder eine zu mi teilerfremde Zahl s2 mit s2<mi ergibt
oder so dass 2*n - fk = fl mit fk, fl Primfaktoren von mi oder Stempelzahlen (GGT(fi,mi)=1 oder GGT(fi,mi)=fi).
Beim Versuch dies zu beweisen, benötigt man die Symmetrie der Stempelzahlen um die Bereichsmitte h=mi/2
Neben der Menge der Stempelzahlen S eines Stempels ist noch die Menge F der Primfaktoren von mi wichtig und SF sei die Vereinigungsmenge beider Zahlenmengen.
FP sei ein beliebiges Produkt von Primfaktoren von mi mit
FP = f1*f2* ...fn mit FP < mi (Ein Primfaktor von mi kann in FP mehrfach vorkommen.)
Es gelte
FPm * FPr = mi
mit FPm = GGT(mi, FP) (Hier kommen die Primfaktoren von mi höchstens einmal vor.)
FPr enthält dann die in FPm und FP fehlenden Faktoren.
Alle im folgenden verwendeten Platzhalter (n, np, o, k, l, x, y, ...) repräsentieren natürliche Zahlen.
Für die Stempelzahlen wird neben der grundlegenden Definition der Abstand zur Bereichsmitte verwendet.
si=h +- 2^x *s2
(Jede Stempelzahl genügt der Bedingung GGT(si,mi)=1 und jede Zahl kleiner mi, die von mi/2 den Abstand 2^x *s2 hat, ist eine Stempelzahl, wobei für s2 wieder gilt: GGT(s2,mi)=1 )
Der folgende Beweisversuch erarbeitet Teilbeweise für bestimmte Gruppen von geraden Zahlen kleiner mi.
Dabei werden einmal gerade Zahlen, die Primfaktoren von mi enthalten von geraden Zahlen ohne solche Faktoren unterschieden.
Dann werden gerade Zahlen 2*n unterschieden, die genaue einmal oder mehrfach den Faktor 2 enthalten (n ist gerade oder ungerade).
Mit diesen beiden Unterscheidungen ergeben sich 4 Teilgruppen, die getrennt betrachtet werden.
Es gilt aufgrund der Symmetrie der Stempelzahlen und weil m gerade ist und nur einmal den Faktor 2 enthält:
Zu jeder geraden Zahl 2*n kleiner mi existiert genau eine ebenfalls gerade "Spiegelzahl" 2*np mit
2*np = mi -2*n
mi = 2* (np + n) = 2* mi/2 = 2*h
h = np + n
Da h immer ungerade ist, ist immer entweder n oder np gerade, nicht beide.
h = 2^o *x + u
u ist ungerade und es gilt
u < h
x ist ungerade und
2^o *x < h mit o>0
Fall AI und AII:
Die gerade Zahl 2*n ist das doppelte einer Stempelzahl (Fall AI) oder n enthält keine weiteren Primfaktoren von mi außer der 2 (Fall AII).
GGT(h,n) = 1
GGT(mi,n) = 1 (Fall AI) oder GGT(mi,n) = 2 (Fall AII)
Den Faktor 2 enthält 2*n nur einmal (Fall AI) oder mehrfach (Fall AII).
Im Fall AI gilt:
n ist selbst wieder eine Stempelzahl (GGT(mi,n) = 1) und ungerade.
n = h-np
n = h - 2^o *x
np = 2^o *x
Da h und n ungerade ist, ist np gerade und da h alle Primfakoren von mi außer der 2 enthält, enthält x wie n keinen Primfaktor von h oder mi.
2*n = n + n ist damit eine Summe von Stempelzahlen, die die gerade Zahl 2*n ergibt.
Falls 2*n < fi * fi gilt:
2*n ist die Summe zweier Primzahlen.
Dieser erste Fall ist trivial und erfasst nur die Doppelten der Stempelzahlen. Er zeigt aber die Vorgehensweise für die folgenden Schritte.
Wie bei allen anderen Wegen ein Paar an Stempelzahlen zu erzeugen, deren Summe 2*n ergibt, läßt sich auch hier eine weitere Konstruktionsvorschrift angeben.
Alternativweg für den Fall AI
Die beiden Stempelzahlen, in die 2*n zerlegt wird, müssen nicht gleich sein:
2*n = n+D + n-D
mit D = 2^x *d und GGT(mi,d)>1 (d ist keine Stempelzahl und besteht nur aus Faktoren von mi. D ist gerade.)
und GGT(mi,n+D)=1 und GGT(mi,n-D)=1
Lassen sich Werte für D finden, für die insbesonders die letzten beiden Bedingungen gelten, so führen diese Werte zu weiteren Lösungen.
D muss daher immer durch 3 teilbar sein, da n nicht durch 3 teilbar ist.
Der Sonderfall D= n +- fi führt zu einem Primfaktor von mi. Hier ist dann GGT(mi,n+D)=fi oder GGT(mi,n-D)=fi.
(D muss auch hier durch 3 teilbar sein, außer fi=3)
Dazu ein Zahlenbeispiel:
2*n=2*23 =46 2*np= 2*82 = 4*41
2*n = 23 + D + 23-D
mögliche Werte für D sind die geraden Zahlen kleiner n, die durch 3 teilbar sind 6,12,18 und die 20, die genau die 3 ergibt.
Ergebnisse:
2: --
4: --
6: 17, 29
12: --
18: 5, 41
20: 3, 43
22: --
(Alle nicht durch 3 teilbaren Zahlen entfallen, da 23 mod 3 = -1 ist. Nur 20 ergibt genau den Primfaktor 3))
(Besser AIII: Sonderfall 2*n ist das Doppelte eines Primfaktors von mi)
Im Fall AII gilt:
n = 2^o *x und GGT(mi,x) = 1
x ist damit eine Stempelzahl.
2*np = mi - 2*n = 2*h - 2*n = 2* (h - n) =2* (h - 2^o *x)
2* np, die Spiegelzahl zu 2*n, ist das Doppelte einer Stempelzahl (np ist damit ungerade).
2*n = 2*(2^o *x) = 2* (h - np)= (h - 2*np + 2*z) + (h - 2*z) = (h - 2*(np - z)) + (h - 2*z)
Falls jetzt gilt:
GGT(np - z, h)=1 und GGT(z, h)=1 und h > 2*(np - z) und h > 2*z
dann ist eine Aufteilung von 2*n in zwei Stempelzahlen gefunden.
Zu beweisen ist hier, dass immer ein z gefunden werden kann, das diese Bedingungen erfüllt.
An dieser Stelle nur ein Zahlenbeispiel:
2*n=8*17 = 2*68 =136 2*np= 74 =2*37
2*n = 105 -2*(37-z) +105-2*z
mögliche Werte für z: Alle Stempelzahlen von 11 bis 47
Ergebnisse:
11: 53 + 83 (np - z)=26
13, 19, 31, 37 (np - z) teilbar durch 3
17, 47 (np - z) teilbar durch 5
23 (np - z) teilbar durch 7
29: 89 + 47 (np - z)=8
41: 113 + 23 (np - z)=-4
Lösungen gibt es immer dann, wenn z zu np eine Zweierpotenz entfernt ist oder ein Zweierpotenzvielfaches einer Stempelzahl.
Der Beweis für diesen Fall ist dennoch schwierig.
Doch zuerst die weiteren Fälle und ein Alternativweg!
Alternativweg für den Fall AII
Die beiden Stempelzahlen, in die 2*n zerlegt wird, lassen sich auch anders konstruieren:
2*n = 2*(2^o *x) = 2* (h - np)= (h - np+z) + (h - np-z)
mit z = 2^x *d und GGT(mi,np+z)=2 und GGT(mi,np-z)=2
und (np +z)<h und ????
z muss ungerade und durch 3 teilbar sein.
(37 +- z) muss das Zweierpotenzvielfache einer Stempelzahl ergeben.
Das Zahlenbeispiel von oben erweitert:
2*n=8*17 = 2*68 =136 2*np= 74 =2*37
2*n = 105 -(37-z) +105-(37+z)
mögliche Werte für z: 3,9,15, ...
Ergebnisse:
3: --
9: (28, 46) 77 + 59
15: (22, 52) 83 + 53
21: (16, 58) 89 + 47
27: --
33: --
39: (-2, 76) 107 + 29
....
Fall BI und BII:
Die gerade Zahl 2*n ist das doppelte eines ungeraden (Fall BI) oder geraden (Fall BII) Vielfachen FP von Primfaktoren von mi.
n = FP*x
GGT(mi,n) = FPm (Fall BI) oder GGT(mi,n) = 2*FPm (Fall BII)
Den Faktor 2 enthält 2*n nur einmal (Fall BI) oder mehrfach (Fall BII).
Im Fall BI gilt:
n ist ungerade und damit h-n oder np gerade.
Da n und h durch FP teilbar sind, muss auch np durch FP teilbar sein.
n = h-np
n = h - 2^o *FP*y
np = 2^o *FP*y
2*n = 2* (h - np) = (h - 2^o *FP*y) + (h - 2^o *FP*y)
Hier wird jetzt FPr, das Produkt, der in FP noch fehlenden Faktoren von mi, wichtig.
(h - 2^o *FP*y) muss so verändert werden, dass eine Stempelzahl entsteht.
2*n = (h - 2*(2^(o-1)*FP*y + D) + (h - 2*(2^(o-1)*FP*y - D)
D kann Zweierpotenzen und einen oder mehrere der fehlenden Primfaktoren enthalten. Dadurch kann (2^(o-1)*FP*y + D) teilerfremd zu h werden.
Falls jetzt gilt:
GGT((2^(o-1)*FP*y - D), h)=1 und GGT((2^(o-1)*FP*y + D), h)=1 und h > 2*(2^(o-1)*FP*y - D) und h > 2*(2^(o-1)*FP*y + D)
dann ist eine Aufteilung von 2*n in zwei Stempelzahlen gefunden.
Zu beweisen ist hier, dass immer ein D gefunden werden kann, das diese Bedingungen erfüllt.
Auch hier führen Zweierpotenzvielfache von fehlenden Primfaktoren oder eines fehlenden Primfaktors von mi zu Lösungen.
Dazu wieder ein Zahlenbeispiel:
2*n=2*45 =90 2*np= 2*2*2*15
2*n = 105 -2*(30-D) +105 -2*(30+D)
mögliche Werte für D: Vielfache von 7 kleiner 28
Ergebnisse:
7: 59 + 31 (2^(o-1)*FP*y - D)=23 oder 37
14: 73 + 17 (2^(o-1)*FP*y - D)=16 oder 44
21: teilbar durch 3
28: 2*(30+28)>105
Alternativweg für den Fall BI
Die beiden Stempelzahlen, in die 2*n zerlegt wird, lassen sich auch anders konstruieren:
2*n = 2* (h - np) = (h - 2*(np +D)) + (h - 2*D)
mit D = 2^x *d und GGT(mi,d)=1 (d ist Stempelzahl oder Element von S)
und (np +D)<h/2 und D<h/2
Auch hier muss GGT(h,(np +D))=1 sein, aber D darf keinen Primfaktor von h enthalten.
Angewendet auf das Zahlenbeispiel von oben:
2*n=2*45 =90 2*np= 2*2*2*15
2*n = 105 -2*(60-D) +105 -2*D
mögliche Werte für D: 13,17,19, ...
Ergebnisse:
13 (47, 26): 11 + 79
17 (43, 34): 19 + 71
19 (41, 38): 23 + 67
...
Im Fall BII gilt:
n ist gerade und damit h-n oder np ungerade.
Da n und h durch FP teilbar sind, muss auch np durch FP teilbar sein.
n = h-np
n = h - FP*y
Wieder wird wie oben versucht aus der Summe n+n eine Summe s1+s2 zu konstruieren.
2*n = (h - FP*y + D) + (h - FP*y - D)
Falls jetzt gilt:
GGT((FP*y - D), h)=1 und GGT((FP*y + D), h)=1 und h > 2*(FP*y - D) und h > 2*(FP*y + D)
dann ist eine Aufteilung von 2*n in zwei Stempelzahlen gefunden.
D kann hier anders als beim Alternativweg unten in FP fehlende Faktoren enthalten.
Ebenso muss D durch 3 teilbar sein, falls FP nicht durch 3 teilbar ist.
D muss wie FP*y ungerade sein.
Dazu wieder ein Zahlenbeispiel:
2*n=2*90 =180 2*np= 2*15
2*n = 105 -(15-D) +105 -(15+D)
mögliche Werte für D: ungerade Vielfache von 7 kleiner 90
Ergebnisse:
7: 97 + 83 (15 +- D) = 22 oder 8
21: teilbar durch 3
35: teilbar durch 5
49: 139 + 41 (15 +- D) = -34 oder 64
77: 167 + 13 (15 +- D) = -62 oder 92
Alternativweg:
2*n = (h - 2*(FP*y - E)) + (h - 2*E)
Lösungen gibt es immer dann, wenn 2*E eine Zweierpotenz ist oder ein Zweierpotenzvielfaches einer Stempelzahl.
Nur dann ergibt (h - 2*E) eine Stempelzahl.
2*(FP*y - E) muss gleichzeitig ebenfalls das Zweierpotenzvielfache einer Stempelzahl sein.
GGT(E, h)=1 sonst wäre der erste Term keine Stempelzahl.
Dazu wieder das Zahlenbeispiel von eben:
2*n=2*90 =180 2*np= 2*15
2*n = 105 -2*(15-E) +105 - 2*E
mögliche Werte für E: Stempelzahlen kleiner 52 (h/2)
Ergebnisse:
1: teilbar durch 7
11: 97 + 83 (15 +- E) = 8 oder 22
13: 101 + 79 (15 +- E) = 4 oder 26
17: 109 + 71 (15 +- E) = -4 oder 34
19: 113 + 67 (15 +- E) = -8 oder 38
23: 121 + 59 (15 +- E) = -16 oder 46
29: teilbar durch 7
31: 137 + 43 (15 +- E) = -32 oder 62
37: 149 + 31 (15 +- E) = -44 oder 74
41: 157 + 23 (15 +- E) = -52 oder 82
43: teilbar durch 7
47: 169 + 11 (15 +- E) = -64 oder 94
Reste:
(Sonderfall (bei AI): n=1 2*n = 2 = 1+1 np= 4*(mi-2)/4)
(und größer als das doppelte des größten Primfaktors fi von mi)
(und größer als 2*mi/fi (doppelte Stempelgröße des nächst-kleineren Stempels))
= m-np - (h - 2^o *x)
n=(h - np) = 2^s *y mit GGT(mi, y)=1 (y ist Stempelzahl, s>0)
2*n =
Die Übertragung der Goldbachschen Vermutung auf die Stempelzahlen
Kann man zeigen, dass jede gerade Zahl g <= mi durch die Summe oder Differenz von zwei Stempelzahlen dargestellt werden kann.
Etwas vergleichbares besagt ja die Goldbachsche Vermutung für Primzahlen.
Da man ja bedeutend mehr ungerade Zahlen (nicht nur Primzahlen) zur Verfügung hat
und diese eine klare Struktur aufweisen, scheint dieser Beweis einfacher zu sein,
erweist sich jedoch ebenfalls als relativ schwierig und macht einem klar, warum auch die Goldbachsche Vermutung nicht leicht zu beweisen ist. Ein Problem sind die Grenzen eines Stempels und die Stempelzahlenlücke am Anfang und Ende.
Dadurch läßt sich die Goldbachsche Vermutung nicht direkt übertragen.
In jedem Stempel mi sind jedoch alle Stempelzahlen bis zum Quadrat des größten Faktors fi immer prim. Ergänzt man die Primfaktoren der Stempelgröße, so hat man die vollständige Reihe der Primzahlenbis zur Schranke fi^2.
Die starke Goldbachsche Vermutung lautet:
Sei 2*n eine beliebige gerade Zahl (n>1), dann existiert mindestens eine Primzahl p, so dass 2*n-p auch prim ist.
2*n - p = q
Damit bezieht sich die Goldbachsche Vermutung nur auf die Summe und nicht auf den Abstand oder die Differenz von zwei Primzahlen.
Übertragen als Stempelzahlvermutungen (erste Fassung):
Summe:
Sei 2*n eine beliebige gerade Zahl kleiner gleich mi (damit: n<=h=mi/2) und größer als das doppelte des größten Primfaktors fi von mi,
dann existiert mindestens eine zu mi teilerfremde Zahl s1 mit s1<mi (und GGT(s1,mi)=1),
so dass 2*n - s1 = s2 wieder eine zu mi teilerfremde Zahl s2 mit s2<mi ergibt.
oder als Differenz:
Sei 2*n eine beliebige gerade Zahl kleiner gleich mi (n<=h),
dann existiert mindestens eine zu mi teilerfremde Zahl s1 mit s1<mi (und GGT(s1,mi)=1),
so dass s1 + 2*n = s2 wieder eine zu mi teilerfremde Zahl s2 mit s2<mi ergibt.
Da die Stempelzahlen zur Mitte spiegelbildlich sind, gilt:
s1 = mi -sp (s1<mi!)
Summe und Differenz lassen sich dadurch aufeinander beziehen:
Summe:
2*n = s2 + s2
2*n - s1 = 2*n - mi + sp = s2
2*n + sp = s2 + mi
2*n - mi = s2 - sp
2*(n - mi/2) = s2 - sp
oder bei der Differenz:
2*n = s2 - s1
s1 + 2*n = mi - sp + 2*n = s2
mi + 2*n = s2 + sp
2*(mi/2 + n) = s2 + sp
Man sieht anders als bei den Primzahlen, denen diese Eigenschaft der Spiegelbildlichkeit fehlt,
hängt hier beides eng zusammen.
Die Betonung und Schwierigkeit bei der Goldbachschen Vermutung liegt jedoch auf der Allgemeingültigkeit.
Jede gerade Zahl kann so dargestellt werden.
An sich ergeben ja die Summen oder Differenzen von ungeraden Zahlen immer gerade Zahlen,
deren Hälften genau in der Mitte zwischen beiden Zahlen liegen und ungerade oder wieder gerade sein können.
s1= 2*s1'+1 = h+/-2^n*s11 (mit h=mi/2)
s1+s2= 2*(s1'+s2'+1) = mi ±2^n*s11 ±2^m*s22
s1-s2= 2*(s1'-s2') =+/-2^n*s11 - (+/-2^m*s22)
Aus der Tatsache, dass jede Summe oder Differenz zweier Stempelzahlen (oder Primzahlen) gerade ist,
folgt aber noch lange nicht, dass alle geraden Zahlen sich so darstellen lassen, sprich so erreicht werden,
auch wenn es mit steigender Anzahl an Stempelzahlen immer mehr Kombinationsmöglichkeiten gibt.
Untersuche wir die beiden Vermutungen zuerst einmal an Beispielen für die Stempelzahlen bis mi=30:
Summe:
4 = 3+1
6 = 5+1 = 3+3
8 = 7+1
10 =7+3 = 5+5
12=11+1 = 5+7
14=13+1 = 7+7
Da weder die 3 noch die 5 teilerfremd zu 30 ist, lässt sich die 4, die 6, die 10 und weitere schon nicht darstellen,
was die erste Vermutung von oben widerlegt.
Differenz:
17+14=31
23+14=37
Da sich zur 14 unter 30 kein Abstand von zwei Stempelzahlen finden lässt (außer unter Verwendung der nicht teilerfremden 3 mit 17-3=14),
wird dadurch auch die zweite Vermutung widerlegt.
Die beiden Vermutungen von oben können also höchstens modifiziert stimmen und ev. bewiesen werden.
Dazu muss man die Primfaktoren von mi einbauen und die Prüfgrenze auf mindestens 2*mi erweitern.
Beides hat seine Tücken! Einmal müsste man bei der Summe dann doch die eigentliche Goldbachsche Vermutung beweisen
(was hier nicht passieren wird!) und zum andern reicht auch der Bereich 2*mi ev. nicht aus
oder es muss zumindest bewiesen werden, dass er ausreicht.
Zur Einleitung dieses 2. Teil hier noch eine Übersicht der
Verteilung der Stempelzahldifferenzen und Summen für die Stempelgröße 30 und etwas darüber hinaus.
(Stempelzahlsummen, Faktoren von 30 und 210 eingefärbt)
(Differenzen)
Außerdem sind noch einige Zusammenhänge hilfreich:
Der Abstandssatz besagt, dass im Abstand einer Stempelzahl von der Bereichsmitte eine Zweierpotenz
oder das zur Bereichsmitte teilerfremde gerade Vielfache einer Stempelzahl zu finden ist.
s1 = h +/- 2^k*s2
Für s2=1 ergibt sich 2^k = mi - 2*s1 oder 2*s1 = mi - 2^k oder s1 = h-2^(k-1)
Stempelzahlvermutungen (zweite Fassung):
Summe:
Sei 2*n eine beliebige gerade Zahl kleiner gleich mi (n<=h=mi/2),
dann existiert mindestens eine zu mi teilerfremde Zahl s1 mit s1<mi (und GGT(s1,mi)=1) oder ein Primfaktor f1 von mi,
so dass 2*n - s1 = s2 oder 2*n - f1 = s2 wieder eine zu mi teilerfremde Zahl s2 mit s2<mi ergibt.
oder als Differenz:
Sei 2*n eine beliebige gerade Zahl kleiner gleich mi (n<=h),
dann existiert mindestens eine zu mi teilerfremde Zahl s1 mit s1<mi (und GGT(s1,mi)=1) oder ein Primfaktor f1 von mi,
so dass s1 + 2*n = s2 oder f1 + 2*n = s2 wieder eine zu mi teilerfremde Zahl s2 mit s2<2*mi ergibt.
Wenn man die Stempelzahlen und die Primfaktoren von mi schon unterscheiden muss,
kann man auch noch versuchen die geraden Zahlen zu unterscheiden:
1. alle reinen Zweierpotenzen < mi
2. alle gerade Zahlen < mi, die neben den Zweierfaktoren rein aus mi Faktoren bestehen
(wobei mindestens einer fehlt, sonst wären sie ja >mi und Vielfache von mi)
3. alle geraden Zahlen, die ein Gemisch aus einigen mi-Faktoren und Stempelzahlen enthalten
4. alle Zahlen, die nur Stempelfaktoren und Zweierfaktoren und keine Faktoren von mi enthalten.
Man kann dann versuchen für jede Zahlengruppe getrennt zu beweisen,
dass alle entsprechenden geraden Zahlen dargestellt werden können.
1. Die reinen Zweierpotenzen
Summe:
???
2^k = sa + sb (x+t=sb x-t=sa mit x=2^(k-1) und t ungerade)
2^k - sa = sb
Man muss hier ausgehend von 2^(k-1) im ungeraden Abstand ein Stempelzahlenpaar finden.
Dazu kann man zuerst jeden einzelnen mi-Faktor testen (Beispiel 128: 64 +/- 3/5/7 ergibt 61/67).
oder man testet Kombinationen, solange sie kleiner 2^(k-1) sind (Beispiel: 64 +/- 15/21/ erfolglos)
oder man testet andere Stempelzahlen (Beispiel: 64 +/- 11/13/17/19/23 erfolglos)
oder man testet Kombinationen von Stempelzahlen und mi-Faktoren (Beispiel: 64 +/- 21/33/39 ergibt 31/97)
Betrachtet man andere Beispiele, wird schnell klar, dass dann andere Wege zum Erfolg führen:
(64) 32:
32 +/- 3/5/7 erfolglos!!!
32 +/- 15/21/ 17/47 11/53
32 +/- 11/13/17/19/23 erfolglos!!!
32 +/- –/–
Einzelne Stempelzahlen findet man in fast allen Fällen, aber ein Paar, das ist schwierig!
Entsprechend schwierig wird der Beweis, dass es immer eine erfolgreiche Möglichkeit gibt.
Aus allen Paaren von Stempelzahlen, deren Reste mod 2^(k-1) symmetrisch sind, muss sich ein Paar finden lassen,
dessen Summe auch 2^k ergibt. (Es scheint davon ab k>2 mindestens/genau(?) zwei zu geben.)
Differenz:
Im Gegensatz zur Summe, lässt sich das Erzeugen einer Zweierpotenz durch eine Differenz sofort und leicht zeigen.
Aus dem Abstandssatz ergibt sich direkt:
2^k = mi - 2*s1 = mi - s1 - s1 = sp1 - s1
Zu jeder Zweierpotenz, die man von mi abziehen kann, findet sich eine Stempelzahl s1.
Die Differenz dieser Stempelzahl mit ihrer Spiegelzahl ergibt die Zweierpotenz.
30-4 = 2*13
17 -13 = 4
2. Zahlen mit mi-Faktoren
Differenz:
Werden Produkte einiger mi-Faktoren mit oder von Produkten der noch fehlenden Faktoren addiert oder subtrahiert,
so entstehen zu mi teilerfremde Zahlen. Ihr Abstand beträgt ein gerades Vielfaches des addierten/subtrahierten Produkts.
Durch entsprechende Kombinationen lassen sich alle möglichen geraden Zahlen mit mi-Faktoren konstruieren, solange die Summe kleiner 2*mi ist.
Dabei sind auch Potenzen von beliebigen Faktoren möglich. Es müssen nur alle mindestens einmal vorkommen.
mi = f1*f2*f3*pi
f1*f2*f3 +/- pi = s1/s2
s1-s2 = 2* pi
2*3*3 +/- 5 = 18 +/- 5 (13;23) Abstand 10
25 +/- 12 = 13/37 Abstand 24
Sonderfall: Kommen nicht alle mi-Faktoren vor, ist es auch möglich, ein Stempelzahlpaar mit geradem Abstand zu erhalten.
Dann müssen aber die Reste des fehlenden Faktors sich auf die Teilprodukte so verteilen, dass sie bei Addition und Subtraktion nicht null werden.
18 +/- 11
Der 18 und der 11 fehlt eigentlich der Faktor 5, aber da 18 den Rest 3 und 11 den Rest 1 hat, wird keine Teilbarkeit durch den fehlenden Faktor erreicht. 7 und 29 haben den Abstand 22. (Ähnlich 12 +/-11)
3. Gerade Zahlen mit einer Mischung aus mi-Faktoren und Stempelzahlen
Differenz:
Hier gilt dasselbe wie oben, solange alle mi-Faktoren aufgeteilt vorkommen,
entsteht ein zu mi teilerfremdes Stempelzahlpaar mit geradem Abstand.
Beispiel:
21 +/- 10 = 11/31 Abstand 20
Weitere Aspekte der Stempelzahlen
(Produkt/Summe/Differenz von Spiegelzahl und Viertelzahl)
Stempelzahlen lassen sich durch folgende Gleichung finden oder erzeugen.
k*s1 - l*s2 = S. (I)
Mit k+l = s3
s1 + s2 = mi
und den Ausgangsstempelzahlen s1, s2 und s3
( s3 < mi kann man noch einschränken.)
Obige Gleichung I ist gleichwertig mit folgenden:
k*mi - s2*(k+l) = k*mi - s2*s3 = S. (II)
-l*mi + s1*(k+l) = -l*mi + s1*s3 = S. (III)
Da mod mi ein Stempelzahlprodukt wieder eine Stempelzahl ergibt, ist die Erzeugung von Stempelzahlen
und nur von Stempelzadhlen wahrscheinlich (zu beweisen), allerdings ev. >mi.
Ist das Ergebnis von I immer kleiner als mi, wenn s3 < mi?
