Wege der Verkleinerung
Man geht von folgenden Zahlenklassen aus und versucht für jede getrennt das Verhalten zu klären.
Wichtig ist der Übergang zu anderen Zahlenklassen und der allgemeine Beweis einer Verkleinerung für diese Zahlenklasse.
Interessant sind ausserdem Verschiebungen auf benachbarte Zahlen oder um definierte Abstände.
Die Zeichenfolge -> soll im Folgenden bedeuten:
Der Ausdruck ... wird nach der Collatzvorschrift abgebildet auf ...
Dabei können Folgeglieder übersprungen werden.
2^n -> 1
Bei der Beurteilung Vergrößerung oder Verkleinerung werden immer nur aufeinanderfolgende ungerade Folgenglieder verglichen und alle geraden übersprungen, wobei die Halbierungen wesentlich zur Verkleinerung beitragen.
Nun die Zahlenklasse:
2^n
3^n
5^n
2*n
2*n+1
3*k
3*k+/-1
4*k+/-1
5*k+/-1
2^n+/-1
3^n+/-1
5^n+/-1
k ungerade
k*15
k*15 +/-2^n mit n>5
k*15+/-z*3 mit z<5 und gerade
Folgende Zahlenklassen beinhalten jeweils alle natürlichen Zahlen:
Die geraden und die ungeraden Zahlen, letztere aufgeteilt in alle Zahlen vom Typ 4k+/-1
Die geraden Zahlen und alle Zahlen k*15+/-2^n und 3*(5k+/-z)
(Es genügt auch 30k+/-3 und 15k+/-6)
Als Beweis für die Collatz Vermutung reicht ein Nachweis der Verkleinerung nicht aus!
Es muss noch bewiesen werden, dass keine Kreise vorhanden sind, die nicht die 1 enthalten.
Wichtig noch:
2*n ist immer von einer durch 3 teilbaren Zahl benachbart.
Ist n gerade, ist eine Nachbarzahl durch 5 teilbar.
Entsprechend ist 3^n für gerade n immer von einer durch 10 teilbaren Zahl benachbart.
Ansonsten immer von einer durch 4/8 teilbaren Zahl. (Bei geradem n die untere, sonst die folgende Zahl: 9-1, 27+1)
Analyse der ersten Folgeglieder jeder Zahlenklasse
2n
2^n -> 2^(n-1) -> .... -> 4 -> 2 -> 1
Die Klasse der Zahlen 2^n wird immer verkleinert und endet bei 1.
2n*k
k*2^n -> 2^(n-1) -> .... -> 4 -> 2 -> 1
Die Klasse der Zahlen 2^n wird immer verkleinert und endet bei 1.
3n
n ist gerade: n=2*n'
3^n -> 3^(n+1) +1 = 8*3^(n-1) + 3^(n-1) +1 = 8*3^(n-1) + 4*3^(n-2) - 3^(n-2) +1
= 28*3^(n-2)+ (1^2 - (3^(n'-1))^2) (teilbar durch 4, da beide Faktoren des Quadrats gerade sind!)
7*3^(n-2) + (1 - (3^(n'-1))^2)/4 = 3^n + (1 - 3^n)/4
Die Klasse der Zahlen 3^n wird für gerade n in den ersten Schritten immer verkleinert.
Die Verkleinerung beträgt: (1 - 3^n)/4
n ist ungerade: n=2*n'+1
3^n -> 3^(n+1) +1 = 2*3^(n) +3^(n) +1 -> 3^(n) + (3^(n) +1)/2
Die Klasse der Zahlen 3^n wird für ungerade n in den ersten Schritten immer vergrößert.
Die Vergrößerung beträgt: (3^(n) +1)/2
Beispiele:
n=2 (–) Folge: 9, 28, 14, 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
n=3 (++) Folge: 27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
n=4 Folge: 81, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
n=5 Folge: 243, 730, 365, 1096, 548, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
5n
5^n -> 3*5^n +1 = 15*5^(n-1)+1 = 16*5^(n-1)- 4*5^(n-2)-5^(n-2) +1
Die 5er Potenzen lassen sich weiter in 4 und 1 aufspalten.
Nach n Schritten erreicht man 5^0. Damit wird der Ausdruck durch 4 teilbar.
Beispiele:
n=1 5, 16, 8, 4, 2, 1
n=2 25, 76, 38, 19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
n=3 125, 376, 188, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
n=4 625, 1876, 938, 469, 1408, 704, 352, 176, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
n=5
2n+/-1
Die Klasse 2^n+/-1 läßt sich gleich um einen Faktor k erweitern. Das Verhalten bleibt gleich. Hier sieht man sehr schön, wie sich benachbarte Vielfache einer natürlichen Zahl auswirken. Die Vielfachen von Zwei werden in Vielfache von 3 umgewandelt. Der Abstand alterniert in einem Kreis von Werten. (1,4 oder -1,-2) Erst wenn alle Vielfachen verbraucht sind, ist der Üergang zu einer anderen Klasse möglich und es wird ein neuer Weg eingeschlagen.
k*2^n-1 -> 3k*2^n-2 -> 3k*2^(n-1)-1 -> 3^2*k*2^(n-1)-2 -> 3^2*k*2^(n-2)-1 ... -> 3^n*k*2^0-1 =k*3^n -1
k*2^n+1 -> 3k*2^n+4 -> 3k*2^(n-2)+1 -> 3^2*k*2^(n-2)+4 -> 3^2*k*2^(n-4)+1 ... -> 3^(n/2)*k*2^0+1 oder 3^((n+1)/2)*k+2
Bei der Klasse k*2^n+1 findet immer eine Verkleinerung statt, da jedes Mal Teilbarkeit durch 4 erreicht, aber nur mit 3 multipliziert wird. Nur die Hälfte der Zweierfaktoren wird in 3er Faktoren umgewandelt. Höchstens bei einer ungeraden Anzahl von Zweierfaktoren n wird am Ende einmal nur durch 2 geteilt und eine andere Klasse erreicht, als bei einer geraden Anzahl.
Bei der Klasse k*2^n-1 findet immer eine Vergrößerung statt, da jedes Mal nur Teilbarkeit durch 2 erreicht, aber mit 3 multipliziert wird. Jeder Zweierfaktor wird in einen 3er Faktor umgewandelt.
Beispiele:
+1
k=1
n=1 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 Sonderfall (mit Vergrößerung), da hier noch keine zwei Teilarkeit durch 4 bei 6 +4 möglich ist.
n=2 5, 16, 8, 4, 2, 1 Sonderfall, da hier mit 3*1*2^2+4 doppelt die Teilbarkeit durch 4 erreicht wird.
n=3 9, 28, 14, 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
n=4 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
n=5 33, 100, 50, 25, 76, 38, 19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
n=6 65, 196, 98, 49, 148, 74, 37, 112, 56, 28, 14, 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
-1
k=1
n=1 1
n=2 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 (siehe Sonderfall oben)
n=3 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
n=4 15, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
n=5 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
n=6 63, 190, 95, 286, 143, 430, 215, 646, 323, 970, 485, 1456, 728, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
3^n+/-1
5^n+/-1
3*k
k ungerade und k =4n+1
3*k -> 9k+1 = 36n +10 -> 18n +5 -> 54n +16 -> 27n +8 = 8*(3n+1) + 3n
(Vergrößerung, aber am Ende in kleinerem Umfang mit 3n wieder ein Vielfaches von 3)
k ungerade und k =4n-1
3*k -> 9k+1 = 36n +8 -> 9n +2
(Verkleinerung um 3/4k)
Beispiele:
n=1
3*k+/-1
3*k+/-1 ist für ungerade k durch zwei teilbar und wird verkleinert.
Für gerade k wird analog k*2^n +/-1 zuerst der Anteil der Zweierfaktoren in 3er Faktoren umgewandelt.
Dabei kann es zu Vergrößerungen kommen!
Beispiele:
-1
n=12 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
+1
n=12 37, 112, 56, 28, 14, 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
4*k+/-1
Jede ungerade Zahl gehört entweder zur Klasse 4*k+1 oder 4*k+3 bzw. 4*k-1
Die Klasse 4*k+1 ergibt diese Folge:
4*k+1 -> 12*k+4 -> 3*k+1
Die Klasse der Zahlen 4*k+1 wird für gerade n in den ersten Schritten immer verkleinert.
Die Verkleinerung beträgt: k
(Ist k ungerade, erfolgt eine weitere Verkleinerung um mindestens einen Zweierfaktor 13-3=10->5)
Beispiele:
n=2 9, 28, 14, 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
n=3 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
n=4 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
n=11 45, 136, 68, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
Die Klasse 4*k-1 ergibt diese Folge:
4*k-1 -> 12*k-2 -> 6*k-1 -> 18k-2 -> 9k-1 = 8k +k-1 ->(k gerade) 27k-2
Die Klasse der Zahlen 4*k+1 wird für gerade n in den ersten Schritten immer vergrößert.
Die Vergrößerung beträgt: 2k, 3k und dann, falls k gerade ist, ca 4k
Beispiele:
n=2 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
n=3 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
n=4 15, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
n=6 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
2^n+/-1
3^n+/-1
5^n+/-1
k*15 k ungerade
k =4n+1
k*15-> 3k*15+1 = 12n*15 + 46 -> 3n*30 +23
Die Klasse der Zahlen 15*k wird für k =4n+1 in den ersten Schritten immer vergrößert.
Die Vergrößerung beträgt: ca 1/2k
n=0 15, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
n=1 75, 226, 113, 340, 170, 85, 256, 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1
k =4n-1
k*15-> 3k*15-1 = 12n*15 + 44 -> 3n*15 +11
n=1 45, 136, 68, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
n=2 105, 316, 158, 79, 238, 119, 358, 179, 538, 269, 808, 404, 202, 101, 304, 152, 76, 38, 19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
k*30 +/-1
k*30 +/-1 = k* 2^5 - 2*k +/-1
k*15 +/-2^n mit n>5
k*15+/-z*3 mit z<5
Beispiele:
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
n=6
Untersuchung besonders langer Folgen:
1: 19
Ohne gerade Zahlen besteht diese Folge aus den Zahlen 19, 29, 11, 17, 13, 5, 1
Dreimal werden durch 8 oder 16 teilbare Zahlen erreicht.
19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
2: 27
27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
