Strukturen und Muster in teilerfremden Zahlen
Geplant war es wirklich nicht, dass hier im KI-Bilderbuch neben all den ethischen Seiten jetzt eine Seite mit nur Mathe entsteht.
Ich hab die Bilder nur gemacht, weil ich in einem Matheforum (Matheplanet.com) zeigen wollte, dass man mit KI jetzt auch in diesem Bereich ganz nette Bilder machen kann.
Dort kann ich aber so viele Bilder nicht alle hochladen und daher habe ich sie jetzt hier aufgelistet.
Probleme hatte ich, weil ich bisher keine Bilderreihen gemacht habe, nur einzelne Bilder, die keine weiteren zur Erklärung brauchen.
Die Reihenfolge der Bilder unten entspricht nicht ihrer Entstehung.
Das Mathe-Thema ist etwas komplex, aber auch nicht so schwierig. Ich versuche es für Interessierte kurz zu umreißen.
Zyklische Gruppen zu quadratfreien ungeraden natürlichen Zahlen
Mithilfe der Carmichelfunktion kann man zu einer Zahl m die Menge der zu m teilerfremden Zahlen bestimmen.
Ihr Anzahl beträgt φ(m). Betrachtet man in dieser Gruppe G(m) mit der Mächtigkeit φ(m) Potenzgruppen zu einer Basis a, dann beträgt deren maximale Ordnung oder Länge λ(m).
λ(m) wird aus den größten Primpotenzen der Faktoren von φ(m) zusammengebaut und ist daher ein Teiler von φ(m).
Es gilt: φ(m) = u(m) * λ(m)
Was mich interessiert hat, war der größte gemeinsame Teiler zwischen φ(m)/λ(m) und λ(m).
z = gcd(φ(m)/λ(m),λ(m)) = gcd(u(m),λ(m))
Dieses z teilt λ(m) in zwei Teile. λ(m) = z*w
Jetzt habe ich eine andere bekannte Aufteilung von λ(m) gefunden durch Invariantenfaktoren.
Hier sortiert man die Primfaktorpotenzen der Faktoren von φ(m) nach Größe. Das Produkt der größten ergibt genau λ(m).
Man kann aber auch die zweitgrößten nehmen. Das ergibt ein c(m). Dieses teilt wiederum λ(m).
λ(m) = c*v = z*w
Damit hatte ich eine neue zweite Aufteilung!
Zwischen diesen 4 Parametern c, v, z und w kann man jetzt Verhältnisse, ggTs und Sonderfälle analysieren.
Das habe ich mit der ChatGPT gemacht und in den folgenden Bildern festgehalten. Zur Vereinfachung habe ich mich auf quadratfreie ungerade Zahlen beschränkt.
Im Ergebnis entsteht ein Faktor r, der alle Faktoren umfasst, die von z nach v geschoben werden:
λ(m) = c*v = z*w = c* (r*w) = (c*r) *w mit v=r*w und z=c*r
Somit teilt c nicht nur λ(m), sondern auch z.
Das alles sind allgemein bekannte und oft einfache Zusammenhänge der Gruppentheorie.
Aus dem Struktursatz für endliche abelsche Gruppen ergibt sich direkt c. Seine grundlegende Bedeutung war mir aber bisher nicht bewusst.
Die KI kann das alles sehr ansprechend zusammenstellen, vieles klären und als Übersichtsbilder darstellen.
Fehler finden sich wie bei allen KI-Bildern, teils ganz lustige.
Viel Spaß beim Durcharbeiten!
(Fehlerhinweis Bild 2 oben: Bild wurde wegen Lücken und Fehlern neu erstellt. Dennoch ist die grafische Darstellung von v=λ/c falsch. Dort muss λ stehen.)
(Ergänztes neues Bild! Fehler hier: 48*96048 = 4610304 (φ(m)) m= 7*17*19*47*59 = 6269753)
(Fehlerhinweis Bild 3: Es muss heißen c=ggt(u/r,λ/v). Der Faktor r (später ρ) ist aber hier noch nicht bekannt.)
(Das Bild oben ist eine einfachere erste Version von Bild 4. Die erweiterte Version folgt unten. Dennoch ist die erste Version für den Anfang leichter zu verstehen!)
(Das Bild der Quadrate ist erst ganz am Schluss entstanden. Es waren mir einfach zu viele davon und das brauchte eine eigene Übersicht!)
(Hier gibt es noch kleinere Fehler. ChatGPT hatte deutlich Probleme den Parameter zu analysieren, brach die Analyse ab und konnte seine Fehler in den ersten Versionen des Bildes nicht ausbauen. Daher auch hier der Kasten mit 70560 quasi als Entschuldigung für Behauptungen in Bildern davor.)
(Das Thema der Sylow-Gruppen musste ich jetzt doch auch noch dazunehmen. Ich hatte es einmal erwähnt und ab da hat ChatGPT das Thema bei jedem weiteren Bild integriert. Daher kommt es auch oben bereits in den ergänzten Bildern vor.)
Literatur
2000 Rob Donnelly “The Structure of Finitely-generated Modules over a P.I.D.”
Explizite Anleitung: höchste Primzahlpotenzen ergeben den größten, die höchsten verbleibenden den zweitgrößten Invariantenfaktor.
University of Colorado "Algebra Prelim Cards"
(Karteikarten, aber sie enthalten den Satz: Der zweite Invariantenfaktor ist das Produkt der zweithöchsten Primzahlpotenzen.)
2018, R. C. Daileda “The Structure of (Z/nZ)^x”
Belegt die Zerlegung der Einheitengruppe über den chinesischen Restsatz.
2020, Thomas R. Shemanske "Abstract Algebra Refresher: Review, Amplification, Examples"
2014, Peter J. Cameron and D. A. Preece "Primitive Lambda-Roots"
Wikipedia_en: Invariantenfaktoren
Verworfene Bilder und erste Versuche - nur hier noch zum Vergleichen und Nachprüfen
In den Bildern unten kommen noch ältere Themen vor. Da ist die Einteilung der ungeraden quadratfreien Zahlen in 8 Gruppen nur basierend auf z und w.
Bearbeitet und bisher nicht hier eingebaut habe ich auch die Ergänzung durch die Analyse von einzelnen Elementen wie 2,3,5,17. 2 wurde immer schon dazu genommen. 3,5,17 bieten sich an. Die Elementordnung von 2 hat eine besondere Nähe zu z.
